Mọi người giúp e giải những bài này nhé. E ko hiểu lắm. Mà thầy cũng không giảng. Nên chả bik làm thế nào.Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 1 có lời giải

2, $\int_{L} y dx - (y+ x^{^{2}}) dy$; L là cung parapol $y=2x - x^2$ nằm trên trục Ox theo chiều đồng hồ3, $\int_{L}(2a-y)dx + xdy$; L là đường $x= a(1 - sin t); y= a(1 - cost); 0\leqslant t\leqslant 2\pi ; a>0$4, $I=\int_{L} xyz ds$; L là đường cung của đường cong $x=t; y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^3}; z=\frac{1}{2}t^2$ giữa các điểm $t=0; t=1$

#2
*

vo van duc

vo van duc

Thiếu úy

Điều hành viên Đại học
*

565 Bài viếtGiới tính:NamĐến từ:Học Sư phạm Toán, ĐH Sư phạm TP HCM

Dù hơi bị bận rộn một chút nhưng tôi cũng cố gắng giải thích giúp bạn một số ý chính.

Bạn đang xem: Bài tập tích phân đường loại 2 có lời giải

.......................................................

1) Tích phân dường loại 1 trong mặt phẳng.

$I=\int_{L}f(x,y)ds$

Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ t\in \left \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t) \right ).\sqrt{(x"(t))^{2}+(y"(t))^{2}}dt$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} y=y(x)\\ x\in \left \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x,y(x))\sqrt{1+\left ( y"(x) \right )^{2}}dx$Nếu$L:\left\{\begin{matrix} x=x(y)\\ y\in \left \end{matrix}\right.$ thì$I=\int_{a}^{b}f(x(y),y)\sqrt{\left ( x"(y) \right )^{2}+1}dx$

Ví dụ 1:

$I_1=\int _{AB}(x-y)ds$ với AB là đoạn thănngr nối 2 điểm A(0,0) và B(4,3).

Giải:

Ta biết rằng$f(x,y)=x-y$ và L là đoạn thẳng AB.

Cách 1: Ta biểu diễn doạn AB theo phương trình tham số.

Ta có:

$AB:\left\{\begin{matrix} x=4t\\ y=3t\\ t\in \left \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{1}\left \sqrt{4^2+3^2}dt=5\int_{0}^{1}tdt=\frac{5}{2}$

.............................................

Phương trình tham số của doạn AB ta lấy ở đâu ra? Xin thưa rằng nó nằm trong chương trình lớp 10. Nhưng ở đây tôi cũng xin nhắc lại một số kết quả để chúng ta tiện sử dụng.

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho hai điểm $A(x_A,y_A)$ và $B(x_B,y_B)$.Khi đó phương trình tham số đoạn AB là:$\left\{\begin{matrix} x=x_A+(x_B-x_A).t\\ y=y_A+(y_B-y_A).t\\ t\in \left \end{matrix}\right.$Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho đường tròn $\left ( C \right )$ có phương trình$(x-a)^2+(y-b)^2=R$.Khi đó phương trình tham số của $\left ( C \right )$ là:$\left\{\begin{matrix} x=a+R\cos t\\ y=b+R\sin t\\ t\in \left \end{matrix}\right.$

.........................................................

Cách 2:

Ta có phương trình đường thẳng AB là $3x-4y=0$. Từ đây suy ra$y=\frac{3}{4}x$.

Xem thêm: Dấu Hiệu Rách Vết Khâu Tầng Sinh Môn Bao Lâu Thì Lành? 5 Lưu Ý Vệ Sinh Đúng Cách

Nhưng phương trình đoạn AB thì sao?

Đó là$AB:\left\{\begin{matrix} y=\frac{3}{4}x\\ x\in \left \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{4}\left \sqrt{1+\left ( \frac{3}{4} \right )^{2}}dx=\frac{5}{32}\int_{0}^{4}xdx=\frac{5}{2}$

Cách3:

Giống như cách 2 ta cũng có$\left\{\begin{matrix} x=\frac{4}{3}y\\ y\in \left \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_1=\int_{0}^{3}\left \sqrt{\left ( \frac{4}{3} \right )^{2}+1}dy=\frac{5}{9}\int_{0}^{3}ydy=\frac{5}{2}$

2) Tích phân đường loại 1 trong không gian

$I=\int_{L}f(x,y,z)ds$

Ta biểu diễn$L:\left\{\begin{matrix} x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\\ t\in \left \end{matrix}\right.$

Khi đó$I=\int_{a}^{b}f\left ( x(t),y(t),z(t) \right )\sqrt{\left ( x"(t) \right )^{2}+\left ( y"(t) \right )^{2}+\left ( z"(t) \right )^{2}}dt$

Ví dụ 2: Câu 4 của bạn.

$I_2=\int_{L}xyzds$ với$L:\left\{\begin{matrix} x=t\\ y=\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}\\ z=\frac{t^{2}}{2}\\ t\in \left \end{matrix}\right.$

Khi đó

$I_2=\int_{0}^{1}t.\frac{1}{3}\sqrt{8t^{3}}.\frac{t^{2}}{2}.\sqrt{1^2+\left ( \sqrt{2t} \right )^{2}+t^{2}}.dt$

$=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}\sqrt{1+2t+t^2}.dt=\frac{\sqrt{2}}{3}\int_{0}^{1}t^{\frac{9}{2}}(1+t)dt=\frac{16\sqrt{2}}{143}$