Bài viết chỉ dẫn phương pháp áp dụng tích phân nhằm tính diện tích hình phẳng giới hạn vì cha con đường cong, đấy là dạng toán thù hay chạm mặt vào lịch trình Giải tích 12 chương 3: Nguyên hàm – Tích phân với Ứng dụng.

Bạn đang xem: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 3 đường

I. PHƯƠNG PHÁPhường. GIẢI TOÁNCách 1:+ Tính hoành độ giao điểm của từng cặp đồ vật thị.+ Chia diện tích hình phẳng thành tổng của những diện tích S hình phẳng giới hạn bởi vì nhị đồ vật thị.Cách 2:+ Vẽ những thứ thị trên cùng một hệ trục tọa độ.+ Từ trang bị thị chia diện tích S hình phẳng thành tổng của các diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì hai vật thị.

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: gọi $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì vật thị tía hàm số $y = f(x)$, $y = g(x)$, $y = h(x)$ (phần gạch ốp chéo cánh vào hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào sau đây đúng?A. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$B. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$C. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$D. $S = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$


Lời giải:Từ trang bị thị ta có:

*

$S = S_1 + S_2$ $ = int_a^b dx $ $ + int_b^c dx .$Chọn lời giải C.

lấy một ví dụ 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì những con đường $y = – x^2 + 3x$, $y = x + 1$, $y = – x + 4$ bằng:A. $frac112.$B. $frac16.$C. $frac14.$D. $frac13.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$ – x^2 + 3x = x + 1$ $ Leftrightarrow – x^2 + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$$ – x^2 + 3x = – x + 4$ $ Leftrightarrow – x^2 + 4x – 4 = 0$ $ Leftrightarrow x = 2.$$x + 1 = – x + 4$ $ Leftrightarrow 2x – 3 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_1^frac32 dx $ $ + int_frac32^2 left $ $ = int_1^frac32 (x – 1)^2 dx$ $ + int_frac32^2 (x – 2)^2 dx.$$ = left. frac(x – 1)^33 ight|_1^frac32$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac32^2$ $ = frac112.$Chọn giải đáp A.

ví dụ như 3: Diện tích hình phẳng giới hạn vày những mặt đường $y = 2x^2$, $y = fracx^24$, $y = frac54x$ bằng:A. $frac632 – 54ln 2.$B. $54ln 2.$C. $ – frac632 + 54ln 2.$D. $frac634.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$2x^2 = fracx^24 Leftrightarrow x = 0.$$2x^2 = frac54x Leftrightarrow x = 3.$$fracx^24 = frac54x Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 2x^2 – fracx^24 ight $ $ + int_3^6 left $ $ = left| int_0^3 left( 2x^2 – fracx^24 ight)dx ight|$ $ + left| int_3^6 left( frac54x – fracx^24 ight)dx ight|.$$ = left| left. frac7x^312 ight ight| + left| _3^6 ight|$ $ = 54ln 2.$Chọn đáp án B.

lấy ví dụ như 4: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng các con đường $y = e^x$, $y = 3$, $y = 1 – 2x$ bằng:A. $5 – 3ln 3.$B. $3ln 3 – 5.$C. $3ln 3 – 1.$D. $S = 3ln 3 + 2e – 5.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:$e^x = 3 Leftrightarrow x = ln 3.$$3 = 1 – 2x Leftrightarrow x = – 1.$$e^x = 1 – 2x$ $ Leftrightarrow e^x + 2x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0$ (do $f(x) = e^x + 2x – 1$ đồng biến chuyển trên $R$ cùng $x=0$ là một nghiệm của pmùi hương trình $e^x + 2x – 1 = 0$).Diện tích:$S = int_ – 1^0 3 – (1 – 2x) ight $ $ + int_0^ln 3 dx .$$ = left| int_ – 1^0 (2 + 2x)dx ight|$ $ + left| int_0^ln 3 left( 3 – e^x ight)dx ight|.$$ = 3ln 3 – 1.$Chọn lời giải C.

lấy ví dụ như 5: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi vì những đường $y = sqrt x $, $y = 2 – x$, $y = 0$ bằng:A. $frac43.$B. $frac76.$C. $frac16 + frac4sqrt 2 3.$D. $frac133.$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt x = 2 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 2\x = (2 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 1.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^1 | sqrt x – (2 – x)|dx$ $ + int_1^2 | 2 – x|dx$ $ = left| int_0^1 (sqrt x – 2 + x) dx ight|$ $ + left| int_1^2 (2 – x)dx ight|.$$ = left| left. left( frac2xsqrt x 3 – 2x + fracx^22 ight) ight ight|$ $ + left| left. left( 2x – fracx^22 ight) ight ight|$ $ = frac43.$Chọn lời giải A.

Ví dụ 6: Diện tích hình phẳng giới hạn do parabol $(P):y = x^2 – x – 2$ cùng các tiếp tuyến của $(P)$ tại các giao điểm của $(P)$ cùng với trục hoành bằng:A. $frac634.$B. $frac638.$C. $frac1178.$D. $frac94.$

Lời giải:Viết các tiếp tuyến:$y = x^2 – x – 2$ $ Rightarrow y’ = 2x – 1.$Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ cùng với $Ox:$$x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2 Rightarrow y"(2) = 3endarray ight..$Tại $M( – 1;0)$, $y"( – 1) = – 3$, pmùi hương trình tiếp tuyến là: $y=-3x-3.$Tại $N(2;0)$, $y"(2) = 3$, phương trình tiếp tuyến đường là: $y = 3x – 6.$Tìm các hoành độ giao điểm:$x^2 – x – 2 = – 3x – 3$ $ Leftrightarrow x = – 1.$$x^2 – x – 2 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = 2.$$ – 3x – 3 = 3x – 6$ $ Leftrightarrow x = frac12.$Diện tích:$S = int_ – 1^frac12 x^2 – x – 2 – ( – 3x – 3) ight $ $ + int_frac12^2 left .$$ = int_ – 1^frac12 (x + 1)^2 dx$ $ + int_frac12^2 (x – 2)^2 dx$ $ = left. frac(x + 1)^33 ight|_ – 1^frac12$ $ + left. frac(x – 2)^33 ight|_frac12^2$ $ = frac94.$Chọn giải đáp D.

Ví dụ 7: Hình phẳng giới hạn do đồ vật thị hàm số $y = 3x – x^2$ và $y = left{ eginarray*20l – fracx2& mkhi::x le 2\x – 3& mkhi::x > 2endarray ight.$ bao gồm diện tích S là:A. $S = frac23.$B. $S = frac83.$C. $S = 4.$D. $S = 6.$

Lời giải:Tìm những hoành độ giao điểm:

*

$3x – x^2 = – fracx2$ $(x le 2)$ $ Leftrightarrow x = 0.$$3x – x^2 = x – 3$ $(x > 2)$ $ Leftrightarrow x = 3.$$ – fracx2 = x – 3 Leftrightarrow x = 2.$Diện tích:$S = int_0^2 left( 3x – x^2 + fracx2 ight)dx $ $ + int_2^3 left( 3x – x^2 – x + 3 ight)dx = 6.$Chọn đáp án D.

lấy ví dụ như 8: Hotline $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng những con đường $y = sqrt 3x $, $y = 6 – x$ với trục $Ox.$ Khẳng định làm sao sau đây là đúng?A. $S = int_0^6 (sqrt 3x – 6 + x)dx .$B. $S = int_0^6 sqrt 3x dx + int_0^6 (6 – x)dx .$C. $S = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$D. $S = int_0^6 (6 – x – sqrt 3x )dx .$

Lời giải:Tìm các hoành độ giao điểm:$sqrt 3x = 6 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20l6 – x ge 0\3x = (6 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 3.$$sqrt 3x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$$6 – x = 0 Leftrightarrow x = 6.$Diện tích:$S = int_0^3 | sqrt 3x – 0|dx$ $ + int_3^6 | 6 – x – 0|dx$ $ = int_0^3 sqrt 3x dx + int_3^6 (6 – x)dx .$Chọn đáp án C.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi nhánh đường nhỏ cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, đường trực tiếp $y = 3 – 2x$ với trục hoành bằng:A. $frac512.$B. $frac2312.$C. $frac78.$D. $frac712.$

Câu 2: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn vì chưng những mặt đường $y = sqrt 2x $, $y = 4 – x$ với trục $Ox$ bằng:A. $frac173.$B. $frac163.$C. $frac143.$D. $frac133.$

Câu 3: Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = x^3$, $y = 2 – x$ cùng $y = 0$ bằng:A. $frac34.$B. $frac114.$C. $frac72.$D. $frac52.$

Câu 4: Hotline $S$ là diện tích S hình phẳng số lượng giới hạn vì đồ thị các hàm số $y = x^2$, $y = fracx^227$, $y = frac27x.$ Khẳng định nào sau đó là đúng?A. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 frac27x – fracx^227 ight .$B. $S = int_0^3 dx $ $ + int_3^9 left .$C. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 dx .$D. $S = int_0^3 left $ $ + int_3^9 x^2 – fracx^227 ight .$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng giới hạn vày nhị đường nhánh cong $y = x^2$ $(x ge 0)$, $y = 4x^2$ $(x ge 0)$ cùng mặt đường thẳng $y=4$ bằng?A. $frac83.$B. $frac143.$C. $7.$D. $frac173.$

2. BẢNG ĐÁPhường. ÁN

Câu12345
Đáp ánDCAAA

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Phương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 3 – 2x$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$3 – 2x = 0 Leftrightarrow x = frac32.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^frac32 | 3 – 2x – 0|dx$ $ = frac712.$Chọn lời giải D.

Câu 2: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$sqrt 2x = 4 – x$ $ Leftrightarrow left{ eginarray*20lx le 4\2x = (4 – x)^2endarray ight.$ $ Leftrightarrow x = 2.$$sqrt x = 0 Leftrightarrow x = 0.$$4 – x = 0 Leftrightarrow x = 4.$Diện tích:$S = int_0^2 | sqrt 2x – 0|dx$ $ + int_2^4 | 4 – x – 0|dx$ $ = frac143.$Chọn lời giải C.

Câu 3: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^3 = 0 Leftrightarrow x = 0.$$2 – x = 0 Leftrightarrow x = 2.$$x^3 = 2 – x Leftrightarrow x = 1.$Diện tích:$S = int_0^1 dx $ $ + int_1^2 | 2 – x|dx = frac34.$Chọn lời giải A.

Câu 4: Phương thơm trình hoành độ giao điểm:$x^2 = fracx^227 Leftrightarrow x = 0.$$fracx^227 = frac27x Leftrightarrow x = 9.$$frac27x = x^2 Leftrightarrow x = 3.$Diện tích: $S = int_0^3 x^2 – fracx^227 ight $ $ + int_3^9 dx .$Chọn giải đáp A.

Xem thêm: Những Bộ Phim Cậu Bé Mới Lớn Và Cô Nàng Quyến Rũ, Phim Cậu Bé Mới Lớn Và Cô Nàng Quyến Rũ

Câu 5: Pmùi hương trình hoành độ giao điểm:$x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 2.$$4x^2 = 4$ $(x ge 0)$ $ Leftrightarrow x = 1.$$x^2 = 4x^2 Leftrightarrow x = 0.$Diện tích: $S = int_0^1 left $ $ + int_1^2 left = frac83.$Chọn đáp án A.